Fiche d'activité
Méthode : Étalonnage du dispositif
Le dispositif est étalonné à l'aide du spectre du mercure dont on connaît les longueurs d'ondes des raies principales avec une précision satisfaisante. Lors de la séance de travaux pratiques la raie verte proche de 500 nm n'était pas observable.
Violet | Indigo | Vert | Jaune/Orange |
|---|---|---|---|
\(404{,}7\ nm\) | \(435{,}8\ nm\) | \(546{,}1\ nm\) | \(577{,}5\ nm\) |
Sur l'écran, le spectre est symétrique par rapport à l'image de la fente source. On mesure la distance \(d\) séparant chaque raie de l'image de la fente source avec la plus grande précision possible.
Complément : Incertitude sur la mesure de la distance d
On mesure la distance d avec un réglet dont la précision est \(p=1\ mm=0{,}1\ cm\).
L'incertitude correspond à une double mesure : origine et position de la raie. Dans ce cas de figure on peut montrer que l'incertitude élargie sur la mesure de d, pour un niveau de confiance de 95% est : \(U(d)=\dfrac{2 \times p}{\sqrt 6}\).
Cette incertitude est la même pour toutes les mesures de d et vaut : \(U(d)\simeq 0{,}0816\ cm\) qu'on arrondit à un seul chiffre significatif, par excès.
Donc : \(U(d)=0{,}09\ cm\)
Mesures expérimentales
\(\lambda\ (nm)\) | \(404{,}7\ nm\) | \(435{,}8\ nm\) | \(546{,}1\ nm\) | \(577{,}5\ nm\) |
|---|---|---|---|---|
\(d\ (cm)\) | 7,50 | 8,00 | 10,30 | 10,95 |
\(U(d)\ (cm)\) | 0,09 | 0,09 | 0,09 | 0,09 |
On obtient la droite d'étalonnage ci-dessous :
Les barres d'incertitudes sont de faible amplitude et permettent de valider le modèle. Dans la suite on négligera les incertitudes sur le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite.
On a obtenu la relation mathématique suivante : \(d=2{,}0223\times 10^{-2} \times \lambda-0{,}74228\).
Donc \(\lambda=\dfrac{d+0{,}74228}{2{,}0223 \times 10^{-2}}\).
Cette dernière relation permet de déterminer expérimentalement une longueur d'onde en mesurant sa position sur l'écran.
Complément : Incertitude sur la valeur de la longueur d'onde
Si on ne prend pas en compte les incertitudes sur le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite modèle, on montre que l'incertitude élargie sur la longueur d'onde est \(U(\lambda)=\dfrac{U(d)}{2{,}0223 \times 10^{-2}}\).
Numériquement : \(U(\lambda)=\dfrac{0{,}09}{2{,}0223 \times 10^{-2}} \simeq 4{,}45\ nm\simeq 5\ nm\), arrondi à un chiffre significatif, par excès.
Détermination de la longueur d'onde de la raie jaune du sodium
Question⚓
Avec le dispositif étalonné précédent, on remplace la lampe à vapeurs de mercure par une lampe à vapeurs de sodium.
On obtient le spectre ci-dessous.
On mesure la distance séparant la raie jaune de l'image de la fente source, on obtient \(d_{Na}=11{,}05 \pm 0{,}09\ cm\).
Déterminer la longueur d'onde de cette raie et exprimer le résultat avec l'incertitude et le nombre de chiffres significatifs adéquat.
Solution⚓
La relation établie lors de l'étalonnage permet de calculer la longueur d'onde quand on a mesuré la distance qui sépare la raie de l'image de la fente centrale.
\(\lambda_{Na}=\dfrac{d_{Na}+0{,}74228}{2{,}0223 \times 10^{-2}}\).
Soit numériquement :
\(\lambda_{Na}=\dfrac{11{,}05+0{,}74228}{2{,}0223 \times 10^{-2}} \simeq 583{,}11\ nm\).
En tenant compte de l'incertitude élargie calculée précédemment, on écrira :
\(\lambda_{Na}=583 \pm 5\ nm\)
L'incertitude porte sur le chiffre des unités, donc on écrit le résultat sans décimale, arrondi au plus proche contrairement à l'incertitude.
Détermination de la transition énergétique à l'origine de la raie jaune du sodium
Question⚓
On donne ci-contre quelques niveaux d'énergie de l'atome de sodium.
Identifiez la transition énergétique à l'origine de la raie jaune observée et dont la longueur d'onde a été calculée à la question précédente.
Solution⚓
Le photon émis à la longueur d'onde \(\lambda_{Na}=583 \pm5\ nm\) possède une énergie strictement égale à un écart d'énergie entre deux niveaux de l'atome.
La réponse s'effectue en deux temps :
Calcul de l'énergie du photon émis.
Identification de deux niveaux d'énergie séparés de cette valeur.
On calcule l'énergie du photon à l'aide de la relation de Planck-Einstein :
\(E_{photon}=h \times \dfrac{c}{\lambda_{Na}}\)
Application numérique :
\(E_{photon}=6{,}63 \times 10^{-34}\times \dfrac{3{,}00\times 10^8}{583\times 10^{-9}}\simeq 3{,}41\times 10^{-19}\ J\)
Soit en eV :
\(E_{photon}=\dfrac{3{,}41\times 10^{-19}}{1{,}602\times 10^{-19}}\simeq 2{,}13\ eV\)
L'énergie du photon émis correspond exactement (à l'incertitude près) à l'écart énergétique \(\Delta E\) entre les deux niveaux impliqués.
Sur le diagramme des niveaux d'énergie du sodium, on constate que \(\Delta E=E_{3p}-E_{3s}=2{,}11\ eV\). Aucun autre écart énergétique ne conduit à une valeur correspondant à l'énergie du photon émis.
La raie jaune du sodium est donc émise par des atomes de sodium passant de l'état excité 3p à l'état fondamental 3s.
Cette transition énergétique peut se schématiser comme sur la figure ci-contre.
Calcul complémentaire - prise en compte de l'incertitude sur l'énergie du photon
L'incertitude sur la longueur d'onde se propage à l'énergie du photon. Il peut être nécessaire de déterminer l'incertitude élargie sur l'énergie du photon pour s'assurer de l'unicité du \(\Delta E\) associé. Si cette incertitude est trop importante, plusieurs transitions énergétiques peuvent correspondre et on ne peut pas trancher précisément.
On peut montrer que l'incertitude élargie sur l'énergie est donnée par la relation :
\(U(E)=h \cdot c \dfrac{U(\lambda)}{\lambda^2}\)
Soit numériquement :
\(U(E)=2{,}9260\times10^{-21}\ J=0{,}01826\ eV\) qu'on arrondit à \(U(E)=0{,}02\ eV\)
On cherche donc une transition énergétique telle que \(\Delta E=2{,}13 \pm 0{,}02\ eV\). Dans cet intervalle, seule la transition 3p → 3s est possible.