Un pas vers la conservation de l'énergie mécanique - Un peu de sensation dans les montagnes russes !

1. On étudie le mouvement du système constitué du wagon dans le référentiel terrestre.

2. Par définition, l'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle, ici il s'agit de l’énergie potentielle de pesanteur. Avec les expressions données dans le document 3, on a :

   \(E_M = E_C + E_{PP}\)

   soit \(E_M = \underbrace{\dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2}_\text{Énergie cinétique} + \underbrace{m \cdot g \cdot h}_\text{Énergie potentielle}\).

3. Au point B \(h=0\ \mathrm m\), donc \(E_{PP}(B) = 0\ \mathrm J\).

   Donc \(E_M(B)=\dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_B^2\).

4. Au point C, si la vitesse du wagon n'est pas nulle, on a :

   \(E_M(C)=\dfrac{1}{2}\cdot m \cdot v_C^2 + m \cdot g \cdot h_C\).

5. La vitesse minimale à communiquer au wagon pour qu'il atteigne le sommet du parcours correspond à la situation où v_C est nulle au sommet.

   En considérant que l'énergie mécanique se conserve au cours du mouvement comme indiqué dans le document 3, on peut écrire que :

   \(E_M(B)=E_M(C)\)

   Soit \(\dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_B^2=m \cdot g \cdot h_C\)

   \(\dfrac{1}{2} \cdot v_B^2=g \cdot h_C\)

   Donc \(v_B = \sqrt{2 \cdot g \cdot h_C}\)

   Application numérique :

   \(v_B = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 139} \simeq 52{,}2\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\)

   Soit \(v_B \simeq 188\ \mathrm{km \cdot h^{-1}}\).

   En considérant que l'énergie mécanique se conserve, la vitesse minimale à communiquer au wagon est donc de \(188\ \mathrm{km \cdot h^{-1}}\).

6. Il est nécessaire de communiquer une vitesse supérieure à celle calculée à la question 5. L'application de la conservation de l'énergie mécanique se base sur une approximation : on néglige les forces de frottement (Doc. 3). La situation réelle montre que cette hypothèse n'est pas valide puisque les deux vitesses sont sensiblement différentes. Les forces de frottement du wagon sur les rails qui le guident ne peuvent pas être négligées. L'énergie mécanique se dissipe au cours du mouvement, d'où la nécessité d'une vitesse supérieure à \(188\ \mathrm{km \cdot h^{-1}}\).

Synthèse :

La vitesse de propulsion la plus adaptée dépend de la hauteur maximale à atteindre. Si on néglige les forces de frottement, c'est le seul paramètre à prendre en compte et un calcul se basant sur la conservation de l'énergie mécanique permet de déterminer la vitesse de propulsion minimale.

Cependant, pour un tel système en situation réelle, les frottements sont loin d'être négligeables et la vitesse de propulsion à communiquer au wagon est nettement supérieure à celle qu'on calcule pour un système dépourvu de frottements.