Description de la situation
On s'intéresse aux oscillations d'un pendule simple, de longueur \(L \simeq 40\ \mathrm {cm}\) et de masse \(m \simeq 75\ \mathrm g\).
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On néglige toutes les forces de frottement, que ce soit sur l'axe de rotation ou celles exercées par l'air.
Le pendule est donc soumis :
à son poids \(\vec P\) ;
à la force exercée par la tige \(\vec T\).
On s'intéresse aux variations des énergies cinétique, potentielle et mécanique au cours du mouvement.
Vous pouvez, si vous le souhaitez, réaliser vos propres pointages et les exploiter en téléchargeant la vidéo dans le format compatible avec Pymécavidéo.
Le point suivant passe directement à l'analyse énergétique de ce mouvement.
Variations de l'énergie au cours du mouvement
Question⚓
Le traitement du fichier de pointages avec le programme Python utilisé précédemment permet d'obtenir les variations de l'énergie du pendule au cours du temps.
Les imprécisions de pointage provoquent des fluctuations qu'il faudra savoir négliger.
Afin de faciliter l'interprétation graphique, on a fait figurer en pointillés verts la valeur moyenne de l'énergie mécanique.
Justifier sans faire de calcul que la force \(\vec T\) ne travaille pas au cours du mouvement.
En analysant qualitativement les variations de l'énergie mécanique par rapport à sa moyenne, justifier qu'il s'agit de fluctuations expérimentales et qu'on peut la considérer comme constante au cours du mouvement.
Est-ce cohérent avec le bilan des forces appliquées au pendule ?
Commentez les variations conjointes des énergies cinétique et potentielle :
à quels instants du mouvement l'énergie cinétique est-elle maximale ? Minimale ?
à quels instants du mouvement l'énergie potentielle de pesanteur est-elle maximale ? Minimale ?
En recherchant les données nécessaires par lecture graphique, estimez la vitesse maximale du pendule.
Solution⚓
1. Le solide décrit une portion de cercle et la force \(\vec T\) est dirigée vers le centre de la trajectoire, selon un rayon de la trajectoire. \(\vec T\) est donc en tout point orthogonal au déplacement de son point d'application : \(\vec T \cdot \vec v= \vec 0\). Le travail de la force \(\vec T\) est donc nul.
2. On constate que l’énergie mécanique varie autour de la valeur moyenne sans montrer de tendance nette. Elle n'évolue donc pas à proprement parler au cours du temps. On est face à des fluctuations résultant des imprécisions sur les pointages. Celles-ci ont des répercussions plus importantes sur l'énergie cinétique, qui fait intervenir la vitesse, que sur l'énergie potentielle où seule la position verticale intervient.
On peut donc considérer que l'énergie mécanique se conserve au cours du mouvement. Sa valeur peut être estimée par la moyenne calculée.
3. La force \(\vec T\) ne travaille pas et le poids \(\vec P\) est une force conservative. Le solide ne subit pas de force non conservative puisqu'on néglige les frottements, donc son énergie mécanique se conserve.
4. On constate que l'énergie cinétique et l'énergie potentielle varient de manière opposée. Quand l'une croît, l'autre décroît. De même, lorsque l'une est maximale, l'autre est minimale.
L'énergie cinétique est maximale lorsque la vitesse est maximale, donc au point le plus bas de la trajectoire.
L'énergie cinétique s'annule lorsque la vitesse est nulle, c'est-à-dire lorsque le solide change de sens de déplacement, aux deux extrémités de la trajectoire.
L'énergie potentielle de pesanteur est minimale au point le plus bas de la trajectoire et maximale au point le plus haut, où le solide change de sens de déplacement.
Le maximum de l'énergie potentielle correspond donc au minimum de l'énergie cinétique et inversement.
5. La vitesse maximale correspond au maximum de l'énergie cinétique.
On peut estimer graphiquement que \(E_{Cmax} \simeq 0{,}0175\ \mathrm J\).
On a \(E_{Cmax}=\dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_{max}^2\),
soit \(v_{max}= \sqrt{\dfrac{2 \times E_{Cmax}}{m}}\)
Application numérique :
\(v_{max}=\sqrt{\dfrac{2 \times 0{,}0175}{75 \times 10^{-3}}} \simeq 0{,}7\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\)