Travail d'une force lors d'un déplacement

La situation est schématisée ci-dessous.

Les forces subies par le véhicule sont :

• son poids \(\vec P\), vertical, dirigé vers le bas ;

• la réaction du sol \(\vec R\), perpendiculaire à la route, dirigée vers le haut ;

• la force motrice \({\vec F}_M\), parallèle à la route, dirigée dans le sens du mouvement ;

• les forces de frottement \(\vec f\), parallèles à la route, opposés au sens du mouvement.

Le travail du poids ne dépend que de la différence d'altitude lors du mouvement, donc \(W \left(\vec P \right)=m \cdot g \cdot \left(z_A - z_B\right) = -m \cdot g \cdot h\), où z_A est l'altitude au bas de la côte et z_B celle en haut de la côte.

La hauteur h se calcule à l'aide du pourcentage de la côte et de la longueur L₂ de la portion inclinée.

Calculons dans un premier temps l'angle \(\alpha\) que fait la route avec l'horizontale dans sa portion inclinée :

\(\tan \alpha=\dfrac{5}{100}=0{,}05\)

Donc \(\alpha = \arctan 0{,}05 \simeq 2{,}86\ °\)

On a alors : \(h=L_2 \times \sin \alpha\).

Soit numériquement : \(h=2000 \times \sin 2{,}86\simeq 99{,}8\ \mathrm m\).

Le travail du poids est donc :

\(W\left( \vec P\right)=-1{,}0\times 10^{3} \times 9{,}81 \times 99{,}8 \simeq -9{,}79 \times 10^5\ \mathrm J\)

La force \(\vec f\) étant toujours colinéaire au déplacement et dirigée en sens inverse de celui-ci, son travail s'exprime en fonction des deux distances L₁ et L₂ :

\(W\left(\vec f \right)=- f \times \left(L_1 + L_2 \right)\)

Application numérique :

\(W \left(\vec f\right)=-2000 \times \left(10000+2000\right)=-2{,}40\times 10^7\ \mathrm J\)