Satellite franco-chinois
Question⚓
L'énoncé est disponible en suivant ce lien.
La schématisation de la situation est rappelée ci-dessous.
Solution⚓
Le satellite en orbite autour de la Terre est soumis à la force de gravitation exercée par la Terre. Le rayon de l'orbite du satellite est égale à \(R_T + h\).
L'expression vectorielle de cette force est donc \({\vec F}_\text{Terre/Satellite}=G\times \dfrac{M \times m}{\left(R_T + h \right)^2}\cdot \vec u\).
\(\vec u\) est un vecteur unitaire pointant vers le centre de la Terre.
Pour représenter cette force à l'échelle, il faut calculer sa valeur.
\(F_\text{Terre/Satellite}=G\times \dfrac{M \times m}{\left(R_T + h \right)^2}\)
soit numériquement :
\(F_\text{Terre/Satellite}=6{,}67\times 10^{-11}\times\dfrac{5{,}974 \times 10^{24}\times 650}{\left(6370\times 10^3 + 520\times 10^3 \right)^2}\simeq 5{,}46\times 10^3\ \mathrm N\)
Voir figure en fin de corrigé pour sa représentation à l'échelle.
Si on suppose le référentiel géocentrique galiléen, on peut y appliquer la deuxième loi de Newton, soit :
\(m \cdot \dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t}={\vec F}_\text{Terre/Satellite}\)
D'après cette relation, \(\Delta \vec v\) et \({\vec F}_\text{Terre/Satellite}\) sont colinéaires et de même sens. Le vecteur \(\Delta \vec v\) est donc dirigé suivant le vecteur \(\vec u\) et pointe vers le centre de la trajectoire (centre de la Terre).
On a représenté le vecteur variation de vitesse en deux points distincts de la trajectoire.
La deuxième loi de Newton permet d'écrire : \(m \cdot \dfrac{\Delta v}{\Delta t}=F_\text{Terre/Satellite}\)
Soit \(\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{F_\text{Terre/Satellite}}{m}=G\times \dfrac{M}{\left(R_T + h \right)^2}\)
D'après l'énoncé : \(\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{v^2}{R_T + h}\), donc :
\(\dfrac{v^2}{R_T + h}=G\times \dfrac{M}{\left(R_T + h \right)^2}\)
soit \(v^2=G\times \dfrac{M}{R_T + h}\).
Donc : \(v=\sqrt{\dfrac{G \times M}{R_T + h}}\)
Application numérique :
\(v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\times 10^{-11} \times 5{,}974\times 10^{24}}{6370\times 10^3 + 520 \times 10^3}}\simeq 7{,}60\times 10^3\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\)
soit \(v=\dfrac{7{,}60\times 10^3}{3{,}6}\simeq 2{,}74\times 10^{4}\ \mathrm{km \cdot h^{-1}}\)
