Chute d'un grêlon
Question⚓
On étudie la chute d'un grêlon. À l'instant \(t_2=1{,}0\ \mathrm s\), le grêlon a une vitesse \(v_2 = 13{,}8\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\). À l'instant \(t_3=2{,}0\ \mathrm{s}\), le grêlon a une vitesse \(v_3 = 15{,}0\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\).
Donnée : masse du grêlon \(m=20\ \mathrm{mg}\).
Calculer la valeur du vecteur variation de vitesse \(\Delta {\vec v}_2\) à l'instant \(t_2=1{,}0\ \mathrm s\).
À l'aide de la deuxième loi de Newton, calculer la résultante des forces s'appliquant au grêlon à l'instant t2.
Quelles sont les forces qui s'exercent sur le grêlon à l'instant t2 ? Donner leur direction et leur sens.
Calculer l'intensité de chacune de ces forces.
Solution⚓
Dans ce cas de figure, on ne peut calculer la variation de vitesse que par la relation \(\Delta {\vec v}_2={\vec v}_3-{\vec v}_2\). Le grêlon chute verticalement, donc les vecteurs vitesse sont colinéaires et de même sens.
\(\Delta v = v_3-v_2\)
Numériquement : \(\Delta v = 15{,}0-13{,}8=1{,}2\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\).
La deuxième loi de Newton permet d'écrire : \(m \cdot \dfrac{\Delta {\vec v}_2}{\Delta t}={\vec F}_\text{Résultante}\), avec \(\Delta t=t_3-t_2=1{,}0\ \mathrm s\). En projetant selon un axe vertical, orienté positivement vers le haut, on obtient :
\(-m \cdot \dfrac{\Delta {v}_2}{\Delta t}=-{F}_\text{Résultante}\)
car les coordonnées du vecteur \(\Delta {\vec v}_2\) sont \(\Delta {\vec v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -\Delta v_2\end{pmatrix}\) et la résultante des forces est elle aussi dirigée verticalement, vers le bas.
Application numérique :
\({F}_\text{Résultante}=20 \times 10^{-6} \times \dfrac{1{,}2}{1{,}0}\simeq 2{,}40\times 10^{-5}\ \mathrm N\)
Cette résultante est dirigée verticalement vers le bas.
Le grêlon subit les forces suivantes :
son poids \(\vec P\) : vertical, dirigé vers le bas, \(P=m \cdot g\) ;
la force de frottement de l'air \({\vec f}_\text{air}\) : verticale, opposée au mouvement donc dirigée vers le haut.
L'intensité du poids se calcule à partir de la relation \(P=m \cdot g\), avec \(g=9{,}81\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}\).
\(P=20\times 10^{-6}\times 9{,}81\simeq 1{,}96\times 10^{-4}\ \mathrm N\)
Connaissant la valeur du poids et celle de la résultante des forces, on peut calculer la valeur de la force de frottement de l'air.
\({\vec F}_\text{Résultante}=\vec P + {\vec f}_\text{air}\)
En projetant selon un axe vertical orienté positivement vers le haut, on a :
\(\vec P=-P\cdot \vec j\)
\({\vec f}_\text{air} = f_\text{air}\cdot \vec j\)
\({\vec F}_\text{Résultante}=-F_\text{Résultante}\cdot \vec j\)
soit, compte tenu des orientations respectives des vecteurs : \(-F_\text{Résultante}=-P + f_\text{air}\).
Soit \(f_\text{air}=P-F_\text{Résultante}\).
Numériquement :
\(f_\text{air}=1{,}96\times 10^{-4}-2{,}40\times 10^{-5}=1{,}72\times 10^{-4}\ \mathrm N\)
La force de résistance de l'air a pour intensité \(1{,}72\times 10^{-4}\ \mathrm N\).