Fiche d'activité
Étude statistique du lot de lentilles⚓
Principe
Cette partie correspond à l'onglet « Type A » de la feuille de calcul de collecte des mesures.
Dans cette partie chaque lentille est mesurée par l'ensemble des groupes.
Pour une lentille donnée, on dispose donc de 12 valeurs de la distance focale \(f'_i\) pour i compris entre 1 et 12.
La valeur retenue pour la distance focale est la valeur moyenne de la série de mesures : \(f'=\overline{f'_i}\).
Un indicateur de la dispersion des mesures est l'écart-type expérimental de la série : noté \(\sigma_{n-1}\).
L'incertitude-type sur la moyenne, si la mesure a été répétée un nombre N de fois, s'exprime par : \(u(f')=\dfrac{\sigma_{n-1}}{\sqrt N}\)
Exemple : Exploitation des mesures et présentation des résultats
Si on prend l'exemple de la lentille n°4, on obtient les résultats suivants :
\(f' \simeq 204{,}3\ \mathrm {mm}\)
Incertitude-type arrondie à un chiffre significatif : \(u\left(f'\right)=2\ \mathrm{mm}\)
Le résultat final doit être présenté avec un nombre de chiffres significatifs cohérent avec l'incertitude-type.
Dans cet exemple, l'incertitude-type porte sur le chiffre des unités (2 mm). Le résultat s'écrit donc en arrondissant à l'unité le résultat brut :
On a mesuré pour la lentille n°4 une distance focale \(\mathbf{f'=204\ mm}\), avec une incertitude-type \(\mathbf{u\left(f' \right)=2\ mm}\).
Prenons maintenant l'exemple de la lentille n°3, on obtient les résultats suivants :
\(f' \simeq 201{,}2\ \mathrm {mm}\)
Incertitude-type arrondie à un chiffre significatif : \(u\left(f'\right)=5\times 10^{-1}\ \mathrm{mm}=0{,}5\ \mathrm{mm}\)
Le résultat final doit être présenté avec un nombre de chiffres significatifs cohérent avec l'incertitude-type.
Dans cet exemple, l'incertitude-type porte sur le chiffre des dixièmes (0,5 mm). Le résultat s'écrit donc en arrondissant au dixième le résultat brut :
On a mesuré pour la lentille n°3 une distance focale \(\mathbf{f'=201{,}2\ mm}\), avec une incertitude-type \(\mathbf{u\left(f' \right)=0{,}5\ mm}\).
Estimation de l'incertitude dans le cas d'une mesure unique⚓
Cette partie correspond à l'onglet « Type B » de la feuille de calcul de collecte des mesures.
Principe
Dans cette partie chaque groupe choisit une lentille et mesure une fois sa distance focale.
On choisit de procéder à une nouvelle mesure plutôt que de reprendre le résultat obtenu lors de la première partie.
Pour estimer l'incertitude sur cette mesure, on commence par lister les différentes sources d'incertitudes compte tenu du matériel utilisé et du protocole :
lecture sur le banc de la position initiale de l'objet ;
précision du positionnement de l'objet à la verticale du 0 ;
lecture sur le banc de la position de la lentille lorsque l'image est nette ;
précision de la mise au point, latitude de mise au point.
La précision des graduations du banc est 1 mm.
Dans le tableau ci-dessous on a estimé la précision du positionnement de l'objet à 2 mm et la latitude de mise au point à 5 mm.
Incertitude | Valeur numérique p en mm | Incertitude-type u |
|---|---|---|
Lecture de la position de l'objet | \(p_1=1\ \mathrm{mm}\) | \(u_1=\dfrac{p_1}{2\sqrt3}\simeq0{,}2887\ \mathrm{mm}\) |
Précision du positionnement de l'objet | \(p_2=2\ \mathrm{mm}\) | \(u_2=\dfrac{p_2}{2\sqrt3}\simeq0{,}5773\ \mathrm{mm}\) |
Lecture de la position de la lentille | \(p_3=1\ \mathrm{mm}\) | \(u_3=\dfrac{p_3}{2\sqrt3}\simeq0{,}2887\ \mathrm{mm}\) |
Précision de la mise au point | \(p_4=5\ \mathrm{mm}\) | \(u_4=\dfrac{p_4}{2\sqrt3}\simeq1{,}4434\ \mathrm{mm}\) |
Se pose ensuite la question de la combinaison de ces quatre sources d'incertitudes pour obtenir l'incertitude-type totale sur la valeur mesurée.
Additionner simplement les incertitudes types conduit à une estimation particulièrement pessimiste de l'incertitude totale et à des valeurs extrêmes peu probables.
On prend une approche plus réaliste, probabiliste, où l'incertitude-type totale est la somme quadratique des incertitudes-types individuelles :
Exemple : Exploitation des mesures et présentation des résultats
Si on prend l'exemple de la lentille n°11 étudiée par le groupe 5on obtient les résultats bruts suivants :
\(f'=201\ \mathrm{mm}\)
\(u\left(f' \right)=1{,}607\ \mathrm{mm}=2\ \mathrm{mm}\), arrondie à un seul chiffre significatif.
On peut donc annoncer le résultat de la mesure sous la forme :
La lentille n°11 a une distance focale \(\mathbf{f'=201\ mm}\), avec une incertitude-type \(\mathbf{u\left(f' \right)=2\ mm}\).