Activité expérimentale - Mesure de la célérité d'ondes mécaniques dans différents contextes
Question⚓
Solution⚓
1. Onde le long d'une corde
Vous pouvez consulter les résultats des pointages des positions du front d'onde dans le document en téléchargement : Résultats_Mesure_V_Corde.ods
On a les deux résultats suivants :
pour la corde non tendue : \(v \simeq 10{,}7\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\) ;
pour la corde tendue : \(v \simeq 18{,}3\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\).
On constate expérimentalement que la tension de la corde a une influence la vitesse de propagation de l'onde : plus la corde est tendue, plus la célérité de l'onde augmente.
La célérité v de l'onde s'exprime en fonction de la tension T : \(v=\sqrt {\dfrac{T}{\mu}}\).
Cette expression est bien cohérente avec l'observation expérimentale :
si la tension T augmente, le rapport \(\dfrac{T}{\mu}\) augmente aussi ;
la fonction racine carrée étant croissante, la valeur de la vitesse v augmente donc.
2. Onde circulaire à la surface de l'eau
On repère les positions du front d'onde dans le cas d'une vaguelette créée à la surface d'une cuve à onde.
L'origine étant placée au point de chute de la goutte, on détermine dans une feuille de calcul le rayon du front d'onde circulaire à partir des coordonnées x et y.
Le résultat est disponible dans la feuille de calcul téléchargeable : Résultats_Mesure_V_Cuve_à_ondes.ods
Expérimentalement, on obtient la valeur de la vitesse ci-dessous :
\(v\simeq0{,}386\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\)
On peut utiliser la valeur de la vitesse pour estimer la profondeur de la cuve à l'aide de la relation \(v=\sqrt{g \times h}\).
On a donc : \(h=\dfrac{v^2}{g}\).
Numériquement :
\(h=\dfrac{0{,}386^2}{9{,}81}\simeq0{,}015\ \mathrm m \simeq 1{,}5\ \mathrm{cm}\).
La profondeur de la cuve obtenue est cohérente avec la géométrie de la cuve à ondes utilisée en classe.
3. Détermination de la vitesse du son dans l'air - Éléments de correction sur la partie incertitudes
On reprend ici un calcul d'incertitude sur la mesure de la vitesse du son à partir d'un résultat obtenu lors de la séance et d'un résultat particulièrement favorable.
On rappelle que ce calcul se base sur le retard au déclenchement et à l'arrêt de deux chronomètres sonores séparés d'une distance d.
Dans le protocole utilisé, le chronomètre n°2 démarre après le n°1 et s'arrête en premier. Il affiche donc une durée plus courte : on notre \(\bold{\Delta t}\) la différence entre les deux durées.
La vitesse du son s'obtient par le calcul : \(v=\dfrac{2\cdot d}{\Delta t}\).
L'estimation de l'incertitude est une étape essentielle dans la présentation d'un résultat de mesure, car elle permet d'exprimer le résultat avec un nombre de chiffres significatifs cohérent et de tester, le cas échéant, sa compatibilité avec une valeur de référence.
Dans le cas précis de cette expérience, les difficultés rencontrées pour obtenir une mesure cohérente rendent l'estimation de cette incertitude indispensable.
Récapitulatif de la mesure d'un groupe d'élèves
distance entre les deux micros : \(d=6{,}0\ \mathrm m\), mesurée au décamètre ;
décalage temporel entre les deux chronomètres : \(\Delta t=0{,}032\ \mathrm s\) ;
vitesse du son obtenue : \(v_{son}=\dfrac{2\cdot d}{\Delta t}\simeq375\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\).
Remarque : le nombre de chiffres significatifs sera ajusté en fonction du résultat du calcul d'incertitude.
Estimation de l'incertitude
Grandeur | Récapitulatif | Expression | Valeur numérique |
|---|---|---|---|
\(\mathbf d\) | \(d=6{,}0\ \mathrm m\) \(p = 0{,}01\ \mathrm m\) | \(u\left(d\right)=\dfrac{p}{\sqrt 6}\) | \(u\left(d\right)=4{,}082\cdot10^{-3}\ \mathrm m\) |
\(\mathbf{\Delta t}\) | \(\Delta t=0{,}032\ \mathrm s\) \(p = 0{,}001\ \mathrm s\) | \(u \left(\Delta t \right)=\dfrac{p}{2\cdot \sqrt 3}\) | \(u \left(\Delta t \right)=2{,}887\cdot 10^{-4}\ \mathrm s\) |
\(\mathbf{\dfrac{u\left(v_{son}\right)}{v_{son}}}\) | \(v_{son}\simeq375\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\) | \(\dfrac{u\left(v_{son}\right)}{v_{son}}=\sqrt{\left(\dfrac{u(d)}{d} \right)^2+\left(\dfrac{u(\Delta t)}{\Delta t} \right)^2}\) | \(\dfrac{u\left(v_{son}\right)}{v_{son}}=9{,}048\times 10^{-3}\) |
\(\mathbf{u\left(v_{son}\right)}\) | \(u\left(v_{son}\right)\) : obtenue en multipliant l'incertitude relative par la valeur de vson. | \(3{,}393\ \mathrm {m \cdot s^{-1}}\) |
Écriture du résultat final
Pour écrire le résultat final :
on arrondit l'incertitude-type à un seul chiffre significatif ;
on écrit le résultat avec la même précision que l'incertitude-type.
Ici \(u\left(v_{son}\right)\simeq3\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\)
L'incertitude-type porte donc sur le chiffre des unités. On écrit le résultat de la mesure en arrondissant à l'unité, les chiffres significatifs suivants n'ont pas de sens au vu de la précision de notre mesure.
La mesure de la vitesse du son donne donc \(v_{son}=375\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\) avec une incertitude type \(u\left(v_{son}\right)\simeq3\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\).
Remarque :
On constate que l'incertitude type estimée est relativement faible au vu du résultat obtenu qui est éloigné de la valeur attendue pour la vitesse du son. Le résultat obtenu est incompatible avec la valeur de référence communément admise de \(340\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\).
On peut donc conclure à une large sous-estimation de l'incertitude, due principalement aux niveaux de déclenchement respectifs des deux chronomètres sonores.
Récapitulatif d'une mesure particulièrement favorable
distance entre les deux micros : \(d=3{,}915\ \mathrm m\), mesurée au mètre ruban gradué tous les mm ;
décalage temporel entre les deux chronomètres : \(\Delta t=0{,}023\ \mathrm s\) ;
vitesse du son obtenue : \(v_{son}=\dfrac{2\cdot d}{\Delta t}\simeq340{,}43\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\).
Remarque : le nombre de chiffres significatifs sera ajusté en fonction du résultat du calcul d'incertitude.
Estimation de l'incertitude
Grandeur | Récapitulatif | Expression | Valeur numérique |
|---|---|---|---|
\(\mathbf d\) | \(d=3{,}915\ \mathrm m\) \(p = 0{,}001\ \mathrm m\) | \(u\left(d\right)=\dfrac{p}{\sqrt 6}\) | \(u\left(d\right)=4{,}08\cdot10^{-4}\ \mathrm m\) |
\(\mathbf{\Delta t}\) | \(\Delta t=0{,}023\ \mathrm s\) \(p = 0{,}001\ \mathrm s\) | \(u \left(\Delta t \right)=\dfrac{p}{2\cdot \sqrt 3}\) | \(u \left(\Delta t \right)=2{,}89\cdot 10^{-4}\ \mathrm s\) |
\(\mathbf{\dfrac{u\left(v_{son}\right)}{v_{son}}}\) | \(v_{son}\simeq340{,}43\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\) | \(\dfrac{u\left(v_{son}\right)}{v_{son}}=\sqrt{\left(\dfrac{u(d)}{d} \right)^2+\left(\dfrac{u(\Delta t)}{\Delta t} \right)^2}\) | \(\dfrac{u\left(v_{son}\right)}{v_{son}}=0{,}0126\) |
\(\mathbf{u\left(v_{son}\right)}\) | \(u\left(v_{son}\right)\) : obtenue en multipliant l'incertitude relative par la valeur de vson. | \(4{,}28\ \mathrm {m \cdot s^{-1}}\) |
Écriture du résultat final
Pour écrire le résultat final :
on arrondit l'incertitude-type à un seul chiffre significatif ;
on écrit le résultat avec la même précision que l'incertitude-type.
Ici \(u\left(v_{son}\right)\simeq4\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\)
L'incertitude-type porte donc sur le chiffre des unités. On écrit le résultat de la mesure en arrondissant à l'unité, les chiffres significatifs suivants n'ont pas de sens au vu de la précision de notre mesure.
La mesure de la vitesse du son donne donc \(v_{son}=340\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\) avec une incertitude type \(u\left(v_{son}\right)\simeq4\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\).