Objectif
Il s'agit de répondre à la question suivante :
Comment évolue la pression dans un fluide au repos en fonction de la hauteur de la colonne de fluide ?
On se place dans le cas d'un liquide, donc d'un fluide incompressible.
Méthode : Expérience et prise de mesures
On dispose d'une éprouvette munie d'un réglet permettant de mesurer la hauteur h de la colonne d'eau.
Un dispositif permet de mesurer la pression dans un tube dont l'extrémité est au fond de l'éprouvette.
On relève les valeurs de la pression P au fur et à mesure qu'on remplit l'éprouvette et on les place dans une feuille de calcul.
L'expérience est accessible en vidéo ci-dessous (changer la qualité si nécessaire pour lire correctement les valeurs de la pression).
Ouvrir la feuille de calcul téléchargée précédemment.
Réaliser l'expérience décrite dans la vidéo et consigner les mesures dans la feuille de calcul.
Exploitation des mesures sur le tableur
Question⚓
Dans la feuille de calcul partiellement complétée, entrer les formules pour convertir la hauteur h de centimètre en mètre et la pression P d'hectopascal en pascal.
Tracer la représentation graphique de la pression P en pascal en fonction de la hauteur h en mètre (maintenir la touche CTRL enfoncée pour sélectionner des plages de cellules non adjacentes) :
type de diagramme : XY (dispersion) ;
données en colonnes ;
titre de l'axe des abscisses : h (m) ;
titre de l'axe des ordonnées : P (Pa) ;
De quel type (affine, linéaire, carré, inverse, etc...) semble être la relation mathématique entre la pression et la hauteur de la colonne d'eau ?
Vérifier en obtenant à l'aide du tableur la courbe de tendance correspondant à vos mesures. Elle donne la relation \(P=f(h)\).
On donne rappelle les données numériques suivantes :
masse volumique de l'eau dans les conditions de l'expérience : \(\rho_{eau} = 998{,}2\ \mathrm {kg \cdot m^{-3}}\) ;
intensité de la pesanteur : \(g=9{,}81\ \mathrm{N \cdot kg^{-1}}\).
La modélisation obtenue est-elle compatible avec l'expression littérale ci-dessous ? Justifier en identifiant chacun des termes.
\[P - P_0 = \rho \times g \times h\]
Solution⚓
2. Voir vidéo ci-contre.
3. Les points de mesure semblent pouvoir se répartir sur une droite. La relation entre pression et hauteur de colonne est semble donc être de type affine.
4. Voir vidéo ci-contre pour l'obtention de la modélisation.
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5. La modélisation obtenue par le tableur donne la relation suivante entre la pression et la hauteur de colonne d'eau :
Cette relation peut se mettre sous la forme proposée :
Expérimentalement, on obtient :
\(P_0 = 1{,}007 \times 10^5\ \mathrm {Pa}\) ;
\(\rho \cdot g = 9{,}137 \times 10^3\ \mathrm{N \cdot m^{-3}}\)
P0 est bien la valeur de la pression à la surface de l'eau, quand \(h=0\ \mathrm m\).
La valeur théorique du produit \(\rho \cdot g\) est \(\rho \cdot g = 998{,}2 \times 9{,}81 \simeq 9{,}792\times 10^3\ \mathrm {N \cdot m^{-3}}\).
Écart relatif entre la valeur expérimentale et la valeur théorique : \(e=\dfrac{9{,}792 \times 10^3 - 9{,}137\times 10^3}{9{,}792 \times 10^3} \simeq 7 \%\).
L'écart relatif n'est pas négligeable mais reste acceptable compte tenu des conditions expérimentales. La précision aurait pu être améliorée en utilisant une colonne d'eau plus importante afin d'obtenir des variations de pression plus grandes.
Retour sur la problématique initiale - Application à l'apnéiste
Question⚓
Lors de la plongée, la pression à la surface de l'eau est égale à la pression atmosphérique. Ce jour là, \(P_{\mathrm{atm}}=1018\ \mathrm {hPa}\).
La plongée a lieu en mer. La masse volumique de l'eau est \(\rho_{\mathrm {eau}}=1025\ \mathrm{kg \cdot m^{-3}}\).
Calculer la pression à laquelle est soumis le plongeur à la profondeur de 10 mètres.
Solution⚓
Dans la cas du plongeur, \(P_0 = P_{atm}\), c'est la pression à la surface de l'eau.
On a donc :